6r^2-11r+4 lösen

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

Faktorisieren

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6r^{2}+ar+br+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-8 b=-3$$

6r^{2}-11r+4 als \left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right) umschreiben.

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

Klammern Sie 2r in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3r-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

-11 zum Quadrat.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 4.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{11±5}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 5.

$$r=\frac{16}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{11±5}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 11.

$$r=\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} \frac{1}{2} ein.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{3r-4}{3} mit \frac{2r-1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 2.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 6 und 6 aufheben.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Auswerten

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$