6r^2+29r-42 lösen

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

Faktorisieren

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6r^{2}+ar+br-42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -252 ergeben.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 29 ergibt.

$$a=-7 b=36$$

6r^{2}+29r-42 als \left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right) umschreiben.

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

Klammern Sie r in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6r-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

29 zum Quadrat.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 841 zu 1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-29±43}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -29 zu 43.

$$r=\frac{14}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-29±43}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 43 von -29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

Dividieren Sie -72 durch 12.

$$r=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{7}{6} und für x_{2} -6 ein.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{6} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 6 und 6 aufheben.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Auswerten

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$