6x^2-x-1 lösen

$$6 { x }^{ 2 } -x-1$$

Faktorisieren

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$1,-6 2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-3 b=2$$

6x^{2}-x-1 als \left(6x^{2}-3x\right)+\left(2x-1\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie 3x in 6x^{2}-3x aus.

$$3x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6x^{2}-x-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1 zu 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{1±5}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±5}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 5.

$$x=\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±5}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{1}{3} ein.

$$6x^{2}-x-1=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6x^{2}-x-1=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+1}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-1}{2} mit \frac{3x+1}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$6x^{2}-x-1=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 6 und 6 aufheben.

$$6x^{2}-x-1=\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)$$