6x^2-5x-1=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$1,-6 2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-6 b=1$$

6x^{2}-5x-1 als \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Klammern Sie 6x in 6x^{2}-6x aus.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -5 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 25 zu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±7}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Dividieren Sie 12 durch 12.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±7}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu \frac{25}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Addieren Sie \frac{5}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$