6x^2-4x-112=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } -4x-112=0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$3x^{2}-2x-56=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-56 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=3\left(-56\right)=-168$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -168 ergeben.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-14 b=12$$

3x^{2}-2x-56 als \left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-14\right)+4\left(3x-14\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-14 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-14\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-14=0 und x+4=0.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -4 und c durch -112, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 16 zu 2688.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{4±52}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±52}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 52.

$$x=\frac{56}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{56}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{14}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±52}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von 4.

$$x=-\frac{48}{12}$$

Dividieren Sie -48 durch 12.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Addieren Sie 112 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}-4x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

Die Subtraktion von -112 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-4x=-\left(-112\right)$$

Subtrahieren Sie -112 von 0.

$$6x^{2}-4x=112$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{112}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{112}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{112}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{112}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{56}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{56}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{56}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{56}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{13}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$