6x^2-32x+10 lösen

$$6 { x }^{ 2 } -32x+10$$

Faktorisieren

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(3x^{2}-16x+5\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}-16x+5. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-15 b=-1$$

3x^{2}-16x+5 als \left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6x^{2}-32x+10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-24\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1024 zu -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{32±28}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±28}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 28.

$$x=\frac{60}{12}$$

Dividieren Sie 60 durch 12.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±28}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von 32.

$$x=\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} \frac{1}{3} ein.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 6 und 3 aufheben.

$$6x^{2}-32x+10=2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Auswerten

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$