6x^2+7x-5=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-3 b=10$$

6x^{2}+7x-5 als \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 7 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 49 zu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividieren Sie \frac{7}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu \frac{49}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{7}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$