6x^2+5x+1=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$1,6 2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+6=7 2+3=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=2 b=3$$

6x^{2}+5x+1 als \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Klammern Sie 2x in 6x^{2}+2x aus.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+1=0 und 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 5 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 25 zu -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±1}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±1}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Dividieren Sie \frac{5}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Addieren Sie -\frac{1}{6} zu \frac{25}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

\frac{5}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$