6x^2+11x-10=0 lösen

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=-4 b=15$$

6x^{2}+11x-10 als \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und 2x+5=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 11 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -10.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 121 zu 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±19}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±19}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -11.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$6x^{2}+11x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie \frac{11}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{121}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

\frac{11}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$