56x^2-12x+1=0 lösen

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 56, b durch -12 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Addieren Sie 144 zu -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Dividieren Sie 12+4i\sqrt{5} durch 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{5} von 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Dividieren Sie 12-4i\sqrt{5} durch 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Division durch 56 macht die Multiplikation mit 56 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{56} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{14}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{28} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{28} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{28}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Addieren Sie -\frac{1}{56} zu \frac{9}{784}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Addieren Sie \frac{3}{28} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$