54(1+x)(1+x)=1215 lösen

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie 1+x und 1+x, um \left(1+x\right)^{2} zu erhalten.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(1+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 54 mit 1+2x+x^{2} zu multiplizieren.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtrahieren Sie 1215 von beiden Seiten.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Subtrahieren Sie 1215 von 54, um -1161 zu erhalten.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 54, b durch 108 und c durch -1161, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

108 zum Quadrat.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplizieren Sie -216 mit -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Addieren Sie 11664 zu 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -108 zu 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Dividieren Sie -108+162\sqrt{10} durch 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 162\sqrt{10} von -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Dividieren Sie -108-162\sqrt{10} durch 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie 1+x und 1+x, um \left(1+x\right)^{2} zu erhalten.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(1+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 54 mit 1+2x+x^{2} zu multiplizieren.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtrahieren Sie 54 von beiden Seiten.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Subtrahieren Sie 54 von 1215, um 1161 zu erhalten.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Division durch 54 macht die Multiplikation mit 54 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Dividieren Sie 108 durch 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{1161}{54} um den niedrigsten Term, indem Sie 27 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Addieren Sie \frac{43}{2} zu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$