52z^2-43z+3 lösen

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Faktorisieren

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 52z^{2}+az+bz+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 156 ergeben.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -43 ergibt.

$$a=-39 b=-4$$

52z^{2}-43z+3 als \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right) umschreiben.

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Klammern Sie 13z in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4z-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

-43 zum Quadrat.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplizieren Sie -208 mit 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Addieren Sie 1849 zu -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Das Gegenteil von -43 ist 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{43±35}{104}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 43 zu 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{78}{104} um den niedrigsten Term, indem Sie 26 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{43±35}{104}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 35 von 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{104} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{1}{13}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} \frac{1}{13} ein.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{13} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Multiplizieren Sie \frac{4z-3}{4} mit \frac{13z-1}{13}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 52 in 52 und 52 aufheben.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Auswerten

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$