5-x^2+3x=12 lösen

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 3 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 9 zu -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Dividieren Sie -3+i\sqrt{19} durch -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{19} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Dividieren Sie -3-i\sqrt{19} durch -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Dividieren Sie 3 durch -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Dividieren Sie 7 durch -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -7 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$