5z^2-33z+18 lösen

$$5 z ^ { 2 } - 33 z + 18$$

Faktorisieren

$$\left(z-6\right)\left(5z-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5z^{2}+az+bz+18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-33 ab=5\times 18=90$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 90 ergeben.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -33 ergibt.

$$a=-30 b=-3$$

5z^{2}-33z+18 als \left(5z^{2}-30z\right)+\left(-3z+18\right) umschreiben.

$$\left(5z^{2}-30z\right)+\left(-3z+18\right)$$

Klammern Sie 5z in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5z\left(z-6\right)-3\left(z-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z-6\right)\left(5z-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5z^{2}-33z+18=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\times 18}}{2\times 5}$$

-33 zum Quadrat.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\times 18}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\times 18}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 18.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-360}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1089 zu -360.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$z=\frac{-\left(-33\right)±27}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -33 ist 33.

$$z=\frac{33±27}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$z=\frac{33±27}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{33±27}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 33 zu 27.

$$z=\frac{60}{10}$$

Dividieren Sie 60 durch 10.

$$z=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{33±27}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von 33.

$$z=\frac{6}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{3}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 6 und für x_{2} \frac{3}{5} ein.

$$5z^{2}-33z+18=5\left(z-6\right)\left(z-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5z^{2}-33z+18=5\left(z-6\right)\times \frac{5z-3}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5z^{2}-33z+18=\left(z-6\right)\left(5z-3\right)$$

Auswerten

$$\left(z-6\right)\left(5z-3\right)$$