5y^2+9y-14 lösen

$$5 y ^ { 2 } + 9 y - 14$$

Faktorisieren

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5y^{2}+ay+by-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -70 ergeben.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=-5 b=14$$

5y^{2}+9y-14 als \left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right) umschreiben.

$$\left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right)$$

Klammern Sie 5y in der ersten und 14 in der zweiten Gruppe aus.

$$5y\left(y-1\right)+14\left(y-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5y^{2}+9y-14=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

9 zum Quadrat.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -14.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81+280}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 81 zu 280.

$$y=\frac{-9±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$y=\frac{-9±19}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$y=\frac{-9±19}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-9±19}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 19.

$$y=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$y=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-9±19}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -9.

$$y=-\frac{28}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{14}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{14}{5} ein.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{14}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y+\frac{14}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{14}{5} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\times \frac{5y+14}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5y^{2}+9y-14=\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

Auswerten

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$