5x^2-8x-4=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-10 b=2$$

5x^{2}-8x-4 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und 5x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -8 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 64 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{8±12}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±12}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 12.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±12}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 8.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$5x^{2}-8x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{16}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$