5x^2-7x=24 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 24 von beiden Seiten.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-15 b=8$$

5x^{2}-7x-24 als \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-7x=24$$

24 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Die Subtraktion von 24 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -7 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 49 zu 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±23}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±23}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-7x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Addieren Sie \frac{24}{5} zu \frac{49}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Addieren Sie \frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$