5x^2-5x-3=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}\approx 1,421954446$$

$$x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}\approx -0,421954446$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-5x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -5 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+60}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 25 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{85}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{85}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{85}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{85}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{85}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+5}{10}$$

Dividieren Sie 5+\sqrt{85} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{85}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{85} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{85}}{10}$$

Dividieren Sie 5-\sqrt{85} durch 10.

$$x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-5x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$5x^{2}-5x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{3}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie -5 durch 5.

$$x^{2}-x=\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{5}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{20}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{20}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{85}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{85}}{10}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{85}}{10}+\frac{1}{2}$$