5x^2-40x-45=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -9 ergeben.

$$1,-9 3,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-9 b=1$$

x^{2}-8x-9 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Klammern Sie x in x^{2}-9x aus.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+1=0.

$$x=9 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -40 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1600 zu 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±50}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Dividieren Sie 90 durch 10.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±50}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie -10 durch 10.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9 x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Addieren Sie 45 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Die Subtraktion von -45 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Subtrahieren Sie -45 von 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Dividieren Sie -40 durch 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Dividieren Sie 45 durch 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=9 x=-1$$