5x^2-40x+85=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -40 und c durch 85, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1600 zu -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±10i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Dividieren Sie 40+10i durch 10.

$$x=4+i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±10i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10i von 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Dividieren Sie 40-10i durch 10.

$$x=4-i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4+i x=4-i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

85 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Die Subtraktion von 85 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Dividieren Sie -40 durch 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Dividieren Sie -85 durch 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Addieren Sie -17 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Vereinfachen.

$$x-4=i x-4=-i$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4+i x=4-i$$