5x^2-4x-12 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 12$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=5\left(-12\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-10 b=6$$

5x^{2}-4x-12 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(6x-12\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(6x-12\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)+6\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-4x-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 16 zu 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{4±16}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±16}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 16.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±16}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 4.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{6}{5} ein.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\left(x+\frac{6}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{6}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\times \frac{5x+6}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-4x-12=\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$