5x^2-20x+15=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-3 b=-1$$

x^{2}-4x+3 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -20 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 400 zu -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±10}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±10}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie -20 durch 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie -15 durch 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Addieren Sie -3 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=1$$