5x^2-18x-8 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 18 x - 8$$

Faktorisieren

$$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-18 ab=5\left(-8\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -18 ergibt.

$$a=-20 b=2$$

5x^{2}-18x-8 als \left(5x^{2}-20x\right)+\left(2x-8\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(2x-8\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-18x-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

-18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+160}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 324 zu 160.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{484}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±22}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$x=\frac{18±22}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{18±22}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±22}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 22.

$$x=\frac{40}{10}$$

Dividieren Sie 40 durch 10.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±22}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von 18.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 4 und für x_{2} -\frac{2}{5} ein.

$$5x^{2}-18x-8=5\left(x-4\right)\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}-18x-8=5\left(x-4\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-18x-8=5\left(x-4\right)\times \frac{5x+2}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-18x-8=\left(x-4\right)\left(5x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)$$