5x^2-14x+9 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 14 x + 9$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(5x-9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=5\times 9=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-9 b=-5$$

5x^{2}-14x+9 als \left(5x^{2}-9x\right)+\left(-5x+9\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-9x\right)+\left(-5x+9\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(5x-9\right)-\left(5x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-9\right)\left(x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-14x+9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 196 zu -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{14±4}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 4.

$$x=\frac{18}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{9}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 14.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{9}{5} und für x_{2} 1 ein.

$$5x^{2}-14x+9=5\left(x-\frac{9}{5}\right)\left(x-1\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{9}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-14x+9=5\times \frac{5x-9}{5}\left(x-1\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-14x+9=\left(5x-9\right)\left(x-1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(5x-9\right)$$