5x^2-12x+4 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 20 ergeben.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -12 ergibt.

$$a=-10 b=-2$$

5x^{2}-12x+4 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 144 zu -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±8}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±8}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} \frac{2}{5} ein.

$$5x^{2}-12x+4=5\left(x-2\right)\left(x-\frac{2}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-12x+4=5\left(x-2\right)\times \frac{5x-2}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-12x+4=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$