5x^2-10x-25=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 25 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{6}+1\approx 3,449489743$$

$$x=1-\sqrt{6}\approx -1,449489743$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-10x-25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -10 und c durch -25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-25\right)}}{2\times 5}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-25\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-25\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+500}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 100 zu 500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{600}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{6}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±10\sqrt{6}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{10±10\sqrt{6}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±10\sqrt{6}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 10\sqrt{6}.

$$x=\frac{10\sqrt{6}+10}{10}$$

Dividieren Sie 10+10\sqrt{6} durch 10.

$$x=\sqrt{6}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±10\sqrt{6}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{6} von 10.

$$x=\frac{10-10\sqrt{6}}{10}$$

Dividieren Sie 10-10\sqrt{6} durch 10.

$$x=1-\sqrt{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-10x-25=0$$

Addieren Sie 25 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-10x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Die Subtraktion von -25 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-25\right)$$

Subtrahieren Sie -25 von 0.

$$5x^{2}-10x=25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{25}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{25}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$x^{2}-2x=\frac{25}{5}$$

Dividieren Sie 25 durch 5.

$$x^{2}-2x=5$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=5+1$$

Addieren Sie 5 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=6$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=6$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\sqrt{6} x-1=-\sqrt{6}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$