5x^2+x+1=5 lösen

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1, um -4 zu erhalten.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-4 b=5$$

5x^{2}+x-4 als \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Klammern Sie x in 5x^{2}-4x aus.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-4=0 und x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+x+1=5$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 1 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1 zu 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±9}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±9}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie -10 durch 10.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+x+1=5$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 5.

$$5x^{2}+x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie \frac{1}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{1}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

\frac{1}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$