5x^2+8x+1=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}\approx -0,136675042$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}\approx -1,463324958$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 8 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 64 zu -20.

$$x=\frac{-8±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-8}{10}$$

Dividieren Sie -8+2\sqrt{11} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-8}{10}$$

Dividieren Sie -8-2\sqrt{11} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+8x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+8x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie \frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{16}{25}$$

Addieren Sie -\frac{1}{5} zu \frac{16}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{11}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

\frac{4}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$