5x^2+70x-75=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-1 b=15$$

x^{2}+14x-15 als \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 70 und c durch -75, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

70 zum Quadrat.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4900 zu 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±80}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -70 zu 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±80}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 80 von -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Dividieren Sie -150 durch 10.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Addieren Sie 75 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Die Subtraktion von -75 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Subtrahieren Sie -75 von 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Dividieren Sie 70 durch 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Dividieren Sie 75 durch 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Addieren Sie 15 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Vereinfachen.

$$x+7=8 x+7=-8$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-15$$