Nach x auflösen
x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}\approx 0,243398113
x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}\approx -1,643398113
Diagramm
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5x^{2}+7x=2
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
5x^{2}+7x-2=2-2
2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
5x^{2}+7x-2=0
Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 7 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}
7 zum Quadrat.
x=\frac{-7±\sqrt{49-20\left(-2\right)}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -4 mit 5.
x=\frac{-7±\sqrt{49+40}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -20 mit -2.
x=\frac{-7±\sqrt{89}}{2\times 5}
Addieren Sie 49 zu 40.
x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}
Multiplizieren Sie 2 mit 5.
x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{89}.
x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{89} von -7.
x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
5x^{2}+7x=2
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{5x^{2}+7x}{5}=\frac{2}{5}
Dividieren Sie beide Seiten durch 5.
x^{2}+\frac{7}{5}x=\frac{2}{5}
Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.
x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{7}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{2}{5}+\frac{49}{100}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{89}{100}
Addieren Sie \frac{2}{5} zu \frac{49}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}
Faktor x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}
\frac{7}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}