5x^2+60x+180=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+36 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=6 b=6$$

x^{2}+12x+36 als \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie x+6=0.

$$x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 60 und c durch 180, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

60 zum Quadrat.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 3600 zu -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Dividieren Sie -60 durch 10.

$$x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

180 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Die Subtraktion von 180 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Dividieren Sie 60 durch 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Dividieren Sie -180 durch 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Dividieren Sie 12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

6 zum Quadrat.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Addieren Sie -36 zu 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Faktor x^{2}+12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x+6=0 x+6=0$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-6 x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=-6$$