5x^2+6x-1=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}\approx 0,148331477$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}\approx -1,348331477$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 6 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 36 zu 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 56.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-6}{10}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{14} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{14} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-6}{10}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{14} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$5x^{2}+6x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{1}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$