5x^2+6x+10=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 6 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 36 zu -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Dividieren Sie -6+2i\sqrt{41} durch 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{41} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Dividieren Sie -6-2i\sqrt{41} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$