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5x^{2}+4x-3=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 4 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}
4 zum Quadrat.
x=\frac{-4±\sqrt{16-20\left(-3\right)}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -4 mit 5.
x=\frac{-4±\sqrt{16+60}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -20 mit -3.
x=\frac{-4±\sqrt{76}}{2\times 5}
Addieren Sie 16 zu 60.
x=\frac{-4±2\sqrt{19}}{2\times 5}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 76.
x=\frac{-4±2\sqrt{19}}{10}
Multiplizieren Sie 2 mit 5.
x=\frac{2\sqrt{19}-4}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{19}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{19}.
x=\frac{\sqrt{19}-2}{5}
Dividieren Sie -4+2\sqrt{19} durch 10.
x=\frac{-2\sqrt{19}-4}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{19}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{19} von -4.
x=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}
Dividieren Sie -4-2\sqrt{19} durch 10.
x=\frac{\sqrt{19}-2}{5} x=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
5x^{2}+4x-3=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
5x^{2}+4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)
Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.
5x^{2}+4x=-\left(-3\right)
Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.
5x^{2}+4x=3
Subtrahieren Sie -3 von 0.
\frac{5x^{2}+4x}{5}=\frac{3}{5}
Dividieren Sie beide Seiten durch 5.
x^{2}+\frac{4}{5}x=\frac{3}{5}
Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.
x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}+\frac{4}{25}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{19}{25}
Addieren Sie \frac{3}{5} zu \frac{4}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{19}{25}
Faktor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{25}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{19}}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{19}}{5}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{19}-2}{5} x=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}
\frac{2}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.