Nach x auflösen (komplexe Lösung)
x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i
x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i
Diagramm
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5x^{2}+3x+1=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 3 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}
3 zum Quadrat.
x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -4 mit 5.
x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}
Addieren Sie 9 zu -20.
x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11.
x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}
Multiplizieren Sie 2 mit 5.
x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{11}.
x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{11} von -3.
x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
5x^{2}+3x+1=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
5x^{2}+3x+1-1=-1
1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
5x^{2}+3x=-1
Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.
\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}
Dividieren Sie beide Seiten durch 5.
x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}
Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.
x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}
Addieren Sie -\frac{1}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}
Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}
Vereinfachen.
x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}
\frac{3}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}