5x^2+3x+1=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 3 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 9 zu -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{11} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie \frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie -\frac{1}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

\frac{3}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$