5x^2+21x=-10x-6 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Kombinieren Sie 21x und 10x, um 31x zu erhalten.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Auf beiden Seiten 6 addieren.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 31 ergibt.

$$a=1 b=30$$

5x^{2}+31x+6 als \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x+1=0 und x+6=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Kombinieren Sie 21x und 10x, um 31x zu erhalten.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Auf beiden Seiten 6 addieren.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 31 und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

31 zum Quadrat.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 961 zu -120.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 841.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-31±29}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -31 zu 29.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-31±29}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 29 von -31.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Dividieren Sie -60 durch 10.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Kombinieren Sie 21x und 10x, um 31x zu erhalten.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Dividieren Sie \frac{31}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{31}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{31}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{31}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

Addieren Sie -\frac{6}{5} zu \frac{961}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

\frac{31}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$