5x^2+21x+4=0 lösen

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 20 ergeben.

$$1,20 2,10 4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=1 b=20$$

5x^{2}+21x+4 als \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x+1=0 und x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 21 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 441 zu -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-21±19}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -21 zu 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-21±19}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dividieren Sie -40 durch 10.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie \frac{21}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{21}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{21}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{21}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Addieren Sie -\frac{4}{5} zu \frac{441}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

\frac{21}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$