5w^2+13w=-6 lösen

$$5 w ^ { 2 } + 13 w = - 6$$

Nach w auflösen

$$w=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$w=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 6 addieren.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5w^{2}+aw+bw+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=5\times 6=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=3 b=10$$

5w^{2}+13w+6 als \left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right) umschreiben.

$$\left(5w^{2}+3w\right)+\left(10w+6\right)$$

Klammern Sie w in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$w\left(5w+3\right)+2\left(5w+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5w+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5w+3\right)\left(w+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5w+3=0 und w+2=0.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=-6-\left(-6\right)$$

Die Subtraktion von -6 von sich selbst ergibt 0.

$$5w^{2}+13w-\left(-6\right)=0$$

Subtrahieren Sie -6 von 0.

$$5w^{2}+13w+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 13 und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

13 zum Quadrat.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-20\times 6}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 6.

$$w=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 169 zu -120.

$$w=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$w=\frac{-13±7}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$w=\frac{-13±7}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{-13±7}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 7.

$$w=-\frac{6}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$w=-\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{-13±7}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -13.

$$w=-\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie -20 durch 10.

$$w=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5w^{2}+13w=-6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5w^{2}+13w}{5}=-\frac{6}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w=-\frac{6}{5}$$

Dividieren Sie \frac{13}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{13}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{13}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{13}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{13}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{169}{100}$$

Addieren Sie -\frac{6}{5} zu \frac{169}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}=\frac{49}{100}$$

Faktor w^{2}+\frac{13}{5}w+\frac{169}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(w+\frac{13}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Vereinfachen.

$$w+\frac{13}{10}=\frac{7}{10} w+\frac{13}{10}=-\frac{7}{10}$$

\frac{13}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$w=-\frac{3}{5} w=-2$$