5v^2+45v+70 lösen

$$5 v ^ { 2 } + 45 v + 70$$

Faktorisieren

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(v^{2}+9v+14\right)$$

Betrachten Sie v^{2}+9v+14. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als v^{2}+av+bv+14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=1\times 14=14$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 14 ergeben.

$$1,14 2,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+14=15 2+7=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=2 b=7$$

v^{2}+9v+14 als \left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right) umschreiben.

$$\left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right)$$

Klammern Sie v in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$v\left(v+2\right)+7\left(v+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term v+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5v^{2}+45v+70=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$v=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

45 zum Quadrat.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-20\times 70}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 70.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-1400}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 2025 zu -1400.

$$v=\frac{-45±\sqrt{625}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$v=\frac{-45±25}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$v=\frac{-45±25}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-45±25}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -45 zu 25.

$$v=-\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie -20 durch 10.

$$v=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-45±25}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -45.

$$v=-\frac{70}{10}$$

Dividieren Sie -70 durch 10.

$$v=-7$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -2 und für x_{2} -7 ein.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v-\left(-2\right)\right)\left(v-\left(-7\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

Auswerten

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$