5t^2-72t-108=0 lösen

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -72 und c durch -108, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-72 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 5184 zu 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -72 ist 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 72 zu 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Dividieren Sie 72+12\sqrt{51} durch 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{51} von 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Dividieren Sie 72-12\sqrt{51} durch 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Addieren Sie 108 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Die Subtraktion von -108 von sich selbst ergibt 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Subtrahieren Sie -108 von 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{72}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{36}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{36}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{36}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Addieren Sie \frac{108}{5} zu \frac{1296}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Addieren Sie \frac{36}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$