5t^2-4t+9=0 lösen

$$5 t ^ { 2 } - 4 t + 9 = 0$$

Nach t auflösen

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}\approx 0,4+1,280624847i$$

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}\approx 0,4-1,280624847i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -4 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

-4 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 9.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-180}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 16 zu -180.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -164.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2i\sqrt{41}.

$$t=\frac{4+2\sqrt{41}i}{10}$$

Dividieren Sie 4+2i\sqrt{41} durch 10.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{41} von 4.

$$t=\frac{-2\sqrt{41}i+4}{10}$$

Dividieren Sie 4-2i\sqrt{41} durch 10.

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5t^{2}-4t+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$5t^{2}-4t=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5t^{2}-4t}{5}=-\frac{9}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t=-\frac{9}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{4}{25}$$

Addieren Sie -\frac{9}{5} zu \frac{4}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktor t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} t-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$