5m^2-14m-15=0 lösen

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Nach m auflösen

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -14 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

-14 zum Quadrat.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 196 zu 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Dividieren Sie 14+4\sqrt{31} durch 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{31} von 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Dividieren Sie 14-4\sqrt{31} durch 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie 15 durch 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Dividieren Sie -\frac{14}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Addieren Sie 3 zu \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Faktor m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Vereinfachen.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Addieren Sie \frac{7}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$