5f^2-40f+75 lösen

$$5 f ^ { 2 } - 40 f + 75$$

Faktorisieren

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(f^{2}-8f+15\right)$$

Betrachten Sie f^{2}-8f+15. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als f^{2}+af+bf+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-5 b=-3$$

f^{2}-8f+15 als \left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right) umschreiben.

$$\left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right)$$

Klammern Sie f in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$f\left(f-5\right)-3\left(f-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term f-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5f^{2}-40f+75=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

-40 zum Quadrat.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 75}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 75.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1500}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1600 zu -1500.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±10}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$f=\frac{40±10}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$f=\frac{40±10}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung f=\frac{40±10}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 10.

$$f=\frac{50}{10}$$

Dividieren Sie 50 durch 10.

$$f=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung f=\frac{40±10}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 40.

$$f=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$f=3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} 3 ein.

$$5f^{2}-40f+75=5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

Auswerten

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$