5a^2+27a+10=0 lösen

$$5 a ^ { 2 } + 27 a + 10 = 0$$

Nach a auflösen

$$a=-5$$

$$a=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5a^{2}+aa+ba+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 50 ergeben.

$$1,50 2,25 5,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 27 ergibt.

$$a=2 b=25$$

5a^{2}+27a+10 als \left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right) umschreiben.

$$\left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right)$$

Klammern Sie a in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$a\left(5a+2\right)+5\left(5a+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5a+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5a+2\right)\left(a+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5a+2=0 und a+5=0.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 27 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

27 zum Quadrat.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 10.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 729 zu -200.

$$a=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$a=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$a=\frac{-27±23}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-27±23}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -27 zu 23.

$$a=-\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$a=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-27±23}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -27.

$$a=-\frac{50}{10}$$

Dividieren Sie -50 durch 10.

$$a=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5a^{2}+27a+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$5a^{2}+27a=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5a^{2}+27a}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-\frac{10}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-2$$

Dividieren Sie \frac{27}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{27}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{27}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}=-2+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{27}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=-2+\frac{729}{100}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{729}{100}.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktor a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Vereinfachen.

$$a+\frac{27}{10}=\frac{23}{10} a+\frac{27}{10}=-\frac{23}{10}$$

\frac{27}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$