5(x+2)^2=(7x+3)(x+2) lösen

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x^{2}+4x+4 zu multiplizieren.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x+3 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtrahieren Sie 7x^{2} von beiden Seiten.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und -7x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtrahieren Sie 17x von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombinieren Sie 20x und -17x, um 3x zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von 20, um 14 zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx+14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=7 b=-4$$

-2x^{2}+3x+14 als \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-7=0 und -x-2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x^{2}+4x+4 zu multiplizieren.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x+3 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtrahieren Sie 7x^{2} von beiden Seiten.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und -7x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtrahieren Sie 17x von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombinieren Sie 20x und -17x, um 3x zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von 20, um 14 zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 3 und c durch 14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±11}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Dividieren Sie 8 durch -4.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±11}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x^{2}+4x+4 zu multiplizieren.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x+3 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtrahieren Sie 7x^{2} von beiden Seiten.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und -7x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtrahieren Sie 17x von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombinieren Sie 20x und -17x, um 3x zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

Subtrahieren Sie 20 von 6, um -14 zu erhalten.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Dividieren Sie 3 durch -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Dividieren Sie -14 durch -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 7 zu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$