5(3x+2)^2=9x^2-4 lösen

$$5 ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } = 9 x ^ { 2 } - 4$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(9x^{2}+12x+4\right)=9x^{2}-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 9x^{2}+12x+4 zu multiplizieren.

$$45x^{2}+60x+20=9x^{2}-4$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$45x^{2}+60x+20-9x^{2}=-4$$

Kombinieren Sie 45x^{2} und -9x^{2}, um 36x^{2} zu erhalten.

$$36x^{2}+60x+20=-4$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$36x^{2}+60x+20+4=0$$

Addieren Sie 20 und 4, um 24 zu erhalten.

$$36x^{2}+60x+24=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$1,6 2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+6=7 2+3=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=2 b=3$$

3x^{2}+5x+2 als \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Klammern Sie x in 3x^{2}+2x aus.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+2=0 und x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(9x^{2}+12x+4\right)=9x^{2}-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 9x^{2}+12x+4 zu multiplizieren.

$$45x^{2}+60x+20=9x^{2}-4$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$45x^{2}+60x+20-9x^{2}=-4$$

Kombinieren Sie 45x^{2} und -9x^{2}, um 36x^{2} zu erhalten.

$$36x^{2}+60x+20=-4$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$36x^{2}+60x+20+4=0$$

Addieren Sie 20 und 4, um 24 zu erhalten.

$$36x^{2}+60x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 36, b durch 60 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 36\times 24}}{2\times 36}$$

60 zum Quadrat.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 36\times 24}}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 36.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-144\times 24}}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie -144 mit 24.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3456}}{2\times 36}$$

Addieren Sie 3600 zu -3456.

$$x=\frac{-60±\sqrt{144}}{2\times 36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-60±12}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 36.

$$x=\frac{-60±12}{72}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-60±12}{72}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -60 zu 12.

$$x=-\frac{48}{72}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{72} um den niedrigsten Term, indem Sie 24 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-60±12}{72}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -60.

$$x=-\frac{72}{72}$$

Dividieren Sie -72 durch 72.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5\left(9x^{2}+12x+4\right)=9x^{2}-4$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 9x^{2}+12x+4 zu multiplizieren.

$$45x^{2}+60x+20=9x^{2}-4$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$45x^{2}+60x+20-9x^{2}=-4$$

Kombinieren Sie 45x^{2} und -9x^{2}, um 36x^{2} zu erhalten.

$$36x^{2}+60x+20=-4$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$36x^{2}+60x=-4-20$$

Subtrahieren Sie 20 von -4, um -24 zu erhalten.

$$36x^{2}+60x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 36.

$$\frac{36x^{2}+60x}{36}=-\frac{24}{36}$$

Division durch 36 macht die Multiplikation mit 36 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{60}{36}x=-\frac{24}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{24}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie \frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -\frac{2}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

\frac{5}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$