5y^2-90y+54=0 lösen

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -90 und c durch 54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-90 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 8100 zu -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -90 ist 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 90 zu 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Dividieren Sie 90+6\sqrt{195} durch 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{195} von 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Dividieren Sie 90-6\sqrt{195} durch 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

54 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Die Subtraktion von 54 von sich selbst ergibt 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Dividieren Sie -90 durch 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Dividieren Sie -18, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -9 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -9 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Addieren Sie -\frac{54}{5} zu 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktor y^{2}-18y+81. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Vereinfachen.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$