5x^2-6x-8=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -6x-8=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=5\left(-8\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-10 b=4$$

5x^{2}-6x-8 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und 5x+4=0.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -6 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 36 zu 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±14}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{6±14}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±14}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 14.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±14}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 6.

$$x=-\frac{8}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-6x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-6x=-\left(-8\right)$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$5x^{2}-6x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{8}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{8}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{8}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{8}{5}+\frac{9}{25}$$

Addieren Sie \frac{8}{5} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{49}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{7}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$