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Nach x auflösen (komplexe Lösung)
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5x^{2}-4x+10=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -4 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}
-4 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -4 mit 5.
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}
Multiplizieren Sie -20 mit 10.
x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}
Addieren Sie 16 zu -200.
x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -184.
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}
Das Gegenteil von -4 ist 4.
x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}
Multiplizieren Sie 2 mit 5.
x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2i\sqrt{46}.
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}
Dividieren Sie 4+2i\sqrt{46} durch 10.
x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{46} von 4.
x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
Dividieren Sie 4-2i\sqrt{46} durch 10.
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
5x^{2}-4x+10=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
5x^{2}-4x+10-10=-10
10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
5x^{2}-4x=-10
Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.
\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}
Dividieren Sie beide Seiten durch 5.
x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}
Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.
x^{2}-\frac{4}{5}x=-2
Dividieren Sie -10 durch 5.
x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}
Addieren Sie -2 zu \frac{4}{25}.
\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}
Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}
Vereinfachen.
x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}
Addieren Sie \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.