5x^2-48x+20=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -48 und c durch 20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

-48 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 2304 zu -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -48 ist 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 48 zu 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Dividieren Sie 48+4\sqrt{119} durch 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{119} von 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Dividieren Sie 48-4\sqrt{119} durch 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

20 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Die Subtraktion von 20 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Dividieren Sie -20 durch 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Dividieren Sie -\frac{48}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{24}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{24}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{24}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Addieren Sie \frac{24}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$